Question

3．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{2}$sinxcos（x+$\frac{π}{4}}$）．
（Ⅰ） 若在△ABC中，BC=2，AB=$\sqrt{2}$，求使f（A-$\frac{π}{4}$）=0的角B．
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[${\frac{π}{2}$，$\frac{17π}{24}}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由條件求得A的值，利用正弦定理求得B的值．
（II）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{2}，\frac{17π}{24}}]$上的取值范圍．

解答 解：（I）∵$f（A-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}sin（{A-\frac{π}{4}}）cosA=0$，∴$sin（{A-\frac{π}{4}}）=0或cosA=0$，∴$在三角形中，得A=\frac{π}{4}或\frac{π}{2}$．
∵△ABC中，BC=2，AB=$\sqrt{2}$，∴當(dāng)A=$\frac{π}{2}$時，△ABC為等腰直角三角形，B=$\frac{π}{4}$；
當(dāng)A=$\frac{π}{4}$時，由正弦定理可得$\frac{2}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinC}$，
求得sinC=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{6}$ 或C=$\frac{5π}{6}$（舍去），∴B=π-A-C=$\frac{7π}{12}$．
綜上可得，B=$\frac{π}{4}$ 或B=$\frac{7π}{12}$．
（II）$f（x）=2\sqrt{2}sinx（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinx}）=2sinxcosx-2{sin^2}x$=$sin2x+cos2x-1=\sqrt{2}（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos2x}）-1=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）-1$，
∵$\frac{π}{2}≤x≤\frac{17π}{24}$，∴$\frac{5π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{3}$，∴$-\sqrt{2}≤\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）≤-1$，∴-$\sqrt{2}$-1≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤-2．
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，$當(dāng)2x+\frac{π}{4}=\frac{3π}{2}，即x=\frac{5π}{8}時，f（x）取最小值-\sqrt{2}-1$；$當(dāng)2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}，即x=\frac{π}{2}時，f（x）取最大值-2$．
所以，f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{2}，\frac{17π}{24}}]$上的取值范圍是$[{-\sqrt{2}-1，-2}]$．

點評 本題主要考查正弦定理、三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．