15.已知拋物線C1:x2=2py的焦點(diǎn)F與橢圓C2:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1的上頂點(diǎn)重合,直線MN:y=kx+m與拋物線C1交于M、N兩點(diǎn),分別以M、N為切點(diǎn)作曲線C1的兩條切線交與點(diǎn)P.
(1)求拋物線C1的方程;
(2)①若直線MN過拋物線C1的焦點(diǎn),判斷點(diǎn)P是否在拋物線C1的準(zhǔn)線上,并說明理由;
②若點(diǎn)P在橢圓C2上,求△PMN面積S的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 (1)利用拋物線C1:x2=2py的焦點(diǎn)F與橢圓C2:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1的上頂點(diǎn)重合,求出p,即可求拋物線C1的方程;
(2)①求出以M、N為切點(diǎn)的切線方程,聯(lián)立可得P($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$),直線MN過拋物線C1的焦點(diǎn),方程為y=kx+1,與拋物線x2=4y聯(lián)立,消去y,可得x2-4kx-4=0,即可證明點(diǎn)P在拋物線C1的準(zhǔn)線上;
②由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$,消去y得x2-4kx-4m=0,求出|MN|,P到直線MN:kx-y+m=0的距離d=$\frac{2|{k}^{2}+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,可得△PMN的面積S=$\frac{1}{2}$|MN|d,即可求△PMN面積S的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

解答 解:(1)橢圓C2:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1的上頂點(diǎn)為(0,1),
∵拋物線C1:x2=2py的焦點(diǎn)F與橢圓C2:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1的上頂點(diǎn)重合,
∴$\frac{p}{2}$=1,
∴p=2,
∴拋物線C1的方程為x2=4y;
(2)①設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1=$\frac{1}{4}$x12,y2=$\frac{1}{4}$x22
∵y=$\frac{1}{4}$x2,∴y′=$\frac{1}{2}$x,
∴以M為切點(diǎn)的切線方程為y-y1=$\frac{1}{2}$x1(x-x1),即y=$\frac{1}{2}$x1x-$\frac{1}{4}$x12,
同理以N為切點(diǎn)的切線方程為y=$\frac{1}{2}$x2x-$\frac{1}{4}$x22
聯(lián)立可得P($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$)
直線MN過拋物線C1的焦點(diǎn),方程為y=kx+1,與拋物線x2=4y聯(lián)立,消去y,可得x2-4kx-4=0,
∴x1x2=-4,
∴P($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,-1)
∵拋物線C1的準(zhǔn)線方程為y=-1,
∴點(diǎn)P在拋物線C1的準(zhǔn)線上;
②由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$,消去y得x2-4kx-4m=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4m,
∴P($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$)可化為P(2k,-m)
代入橢圓方程得k2+m2=1,
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=4$\sqrt{(1+{k}^{2})({k}^{2}+m)}$
P到直線MN:kx-y+m=0的距離d=$\frac{2|{k}^{2}+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
△PMN的面積S=$\frac{1}{2}$|MN|d=4$\sqrt{{k}^{2}+m}$•|k2+m|=4$\sqrt{(1-{m}^{2}+m)^{3}}$=4$\sqrt{[-(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{5}{4}]^{3}}$≤4$\sqrt{(\frac{5}{4})^{3}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$,
即m=$\frac{1}{2}$時(shí),S取最大值$\frac{5\sqrt{5}}{2}$,
此時(shí)k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$,點(diǎn)P坐標(biāo)為(±$\sqrt{3}$,-$\frac{1}{2}$).

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程,直線與拋物線的位置關(guān)系,考查切線方程,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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日期11日12日13日14日15日
平均氣溫x(℃)91012118
銷量y(杯)2325302621
(1)若先從這5組數(shù)據(jù)中抽取2組,列出所有可能的結(jié)果并求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)請根據(jù)所給的5組數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$,并根據(jù)線性回歸方程預(yù)測當(dāng)氣象臺預(yù)報(bào)1月16日的白天氣溫為7℃時(shí)奶茶店這種飲料的銷量(結(jié)果四舍五入).
附:線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中$\left\{\begin{array}{l}{\widehat=\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})=\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}}\end{array}\right.$,其中$\overline{x}$,$\overline{y}$為樣本平均值.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)已知過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓交于點(diǎn)N(點(diǎn)N在第一象限),E,F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果kEN+KFN=0,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.

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