13.如圖,在三棱錐A-BCD中,BC⊥BD,AD⊥AC,CD=2,∠ACD=30°,∠DCB=45°,AO⊥平面BCD,垂足O恰好在BD上.
(Ⅰ)證明:BC⊥AD;
(Ⅱ)求三棱錐A-BCD的體積.

分析 (Ⅰ)由AO⊥平面BCD,得AO⊥BC,又已知BC⊥BD,且AO∩BD=O,由線面垂直的判定得BC⊥平面ABD,即可證得BC⊥AD;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,AD⊥BC,又AD⊥AC,BC∩AC=C,得AD⊥平面ABC,又AB?平面ABC,得AD⊥AB,由已知CD,求得BD,AD,進(jìn)一步可求出AB,得到△ABD為等腰直角三角形,故O為BD的中點(diǎn),求出OD,即可求出三棱錐A-BCD的體積.

解答 (Ⅰ)證明:由AO⊥平面BCD,BC?平面BCD,得AO⊥BC,
又∵BC⊥BD,且AO∩BD=O,
∴BC⊥平面ABD,
又AD?平面ABD,
∴BC⊥AD;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得,AD⊥BC,又AD⊥AC,BC∩AC=C,
∴AD⊥平面ABC,
又∵AB?平面ABC,
∴AD⊥AB,
由已知CD=2,得BD=DCsin45°=$\sqrt{2}$,
AD=DCsin30°=1,
∴AB=1,
∴△ABD為等腰直角三角形,故O為BD的中點(diǎn).
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$$•\sqrt{2}•\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定,考查了空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了棱錐體積的求法,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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3.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),直線PF與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn),若$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FA}$,則|AB|=(  )
A.5B.$\frac{16}{3}$C.$\frac{22}{3}$D.8

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4.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$(x+$\frac{1}{x}$),g(x)=$\frac{1}{2}$(x-$\frac{1}{x}$).
(1)求函數(shù)h(x)=f(x)+2g(x)的零點(diǎn);
(2)求函數(shù)F(x)=[f(x)]2n-[g(x)]2n(n∈N*)的最小值.

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1.已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)M(3,t)到焦點(diǎn)的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)T(-2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若在x軸上存在一點(diǎn)E,使得△EAB是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的直角三角形,求直線l的斜率的取值范圍.

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8.2015年,威海智慧公交建設(shè)項(xiàng)目已經(jīng)基本完成.為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意度,分別從不同公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分(滿分100分),繪制如下頻率分布直方圖,并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級(jí):
滿意度評(píng)分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分
滿意度等級(jí)不滿意基本滿意滿意非常滿意
已知滿意度等級(jí)為基本滿意的有680人.
(I)求等級(jí)為非常滿意的人數(shù):
(Ⅱ)現(xiàn)從等級(jí)為不滿意市民中按評(píng)分分層抽取6人了解不滿意的原因,并從中選取3人擔(dān)任整改監(jiān)督員,求3人中恰有1人評(píng)分在[40,50)的概率;
(Ⅲ)相關(guān)部門對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行驗(yàn)收,驗(yàn)收的硬性指標(biāo)是:市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意指數(shù)不低于0.8,否則該項(xiàng)目需進(jìn)行整改,根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),判斷該項(xiàng)目能否通過驗(yàn)收,并說明理由.(注:滿意指數(shù)=$\frac{滿意程度的平均分}{100}$)

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18.將函數(shù)y=sin(-2x)+cos(2x)的圖象(  )得到函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin(-2x)的圖象.
A.向左平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位B.向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位
C.向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位D.向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位

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5.某位同學(xué)進(jìn)行寒假社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),為了對(duì)白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫x(℃)與該奶茶店的這種飲料銷量y(杯)得到如下數(shù)據(jù)
日期11日12日13日14日15日
平均氣溫x(℃)91012118
銷量y(杯)2325302621
(1)若先從這5組數(shù)據(jù)中抽取2組,列出所有可能的結(jié)果并求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)請(qǐng)根據(jù)所給的5組數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$,并根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)當(dāng)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)1月16日的白天氣溫為7℃時(shí)奶茶店這種飲料的銷量(結(jié)果四舍五入).
附:線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中$\left\{\begin{array}{l}{\widehat=\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})=\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}}\end{array}\right.$,其中$\overline{x}$,$\overline{y}$為樣本平均值.

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2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a4+a7=20,對(duì)任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2
(I) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}定義如下:2mbm(m∈N*)是使不等式an≥m成立所有n中的最小值,求{bn}的通項(xiàng)公式及{(-1)m-1bm}的前2m項(xiàng)和T2m

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3.已知函數(shù)f(x)=2$\sqrt{2}$sinxcos(x+$\frac{π}{4}}$).
(Ⅰ) 若在△ABC中,BC=2,AB=$\sqrt{2}$,求使f(A-$\frac{π}{4}$)=0的角B.
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[${\frac{π}{2}$,$\frac{17π}{24}}$]上的取值范圍.

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