Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形，PD=DC=2，E、F、G分別是AB、PB、CD的中點．
（1）求證：EF⊥DC；
（2）求證：GF∥平面PAD；
（3）求點G到平面PAB的距離．

Answer 1

分析 （1）要證：EF⊥CD，先證DC⊥AP，再證EF‖AP即可證明EF⊥CD．
（2）以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0）為平面PAD的一個法向量，$\overrightarrow{GF}$=（1，0，1），證明$\overrightarrow{GF}⊥\overrightarrow{DC}$．即可證明GF∥平面PAD；
（3）證明GF⊥平面PAB，即可求點G到平面PAB的距離．

解答 （1）證明：∵PD⊥DC，DC⊥AD，AD∩PD=D，
∴DC⊥平面PAD，
∵AP∈平面ABCD，∴DC⊥AP，
∵E、F分別是PB和AB的中點，EF是三角形PAB的中位線，EF‖AP，
∴EF⊥CD．
（2）證明：如圖，以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（2，1，0），F（1，1，1），G（0，1，0），
∵$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0）為平面PAD的一個法向量，$\overrightarrow{GF}$=（1，0，1），
∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{DC}$=1×0+0×2+1×0=0，
∴$\overrightarrow{GF}⊥\overrightarrow{DC}$．
∵GF?平面PAD，
∴GF∥平面PAD．
（3）解：∵$\overrightarrow{GF}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），
∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{PA}$=0，即GF⊥AB，GF⊥PA，
∵AB∩PA=A，
∴GF⊥平面PAB，垂足為F點，
∵|$\overrightarrow{GF}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴點G到平面PAB的距離為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查學生的空間想象能力，以及對線面關系的考查，考查向量方法的運用，屬于中檔題．