Question

1．橢圓Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且直線l過橢圓Г的上頂點和左焦點，橢圓中心到直線l的距離等于焦距長的$\frac{1}{4}$．
（1）求橢圓Г的方程；
（2）若一條與坐標軸不平行且不過原點的直線交橢圓Г于不同的兩點M、N，點P為線段MN的中點，求證：直線MN與直線OP不垂直．

Answer 1

分析 （1）利用點到直線的距離公式整理可知a=2b，將點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程計算可知a=2、b=1，進而可得結論；
（2）通過設點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x₀，y₀），結合中點坐標公式，將點M、N代入橢圓方程并做差，計算即得結論．

解答 （1）解：橢圓中心到l的距離為$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{bc}{a}$=$\frac{1}{4}$×2c，即a=2b，
點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程，得：a=2、b=1，
∴橢圓Г的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）證明：法一：設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∵$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-0}$=-$\frac{1}{4}$，
∴k_MN•k_OP=-$\frac{1}{4}$≠-1，即直線MN與直線OP不垂直．
法二：設直線方程為y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8kb}{1+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=$\frac{2b}{1+4{k}^{2}}$，
∴k_OP=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-0}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4k}$，
∵k_MN•k_OP=-$\frac{1}{4}$≠-1，
∴直線MN與直線OP不垂直．

點評 本題考查橢圓的定義及直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．