Question

17．已知點A，F(xiàn)分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點和右焦點，過點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直且與另一條漸近線和y軸分別交于P，Q兩點，若$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-a²，則雙曲線C的離心率為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由已知條件求出直線l的方程為：y=-$\frac{a}$x+$\frac{ac}$，與y=-$\frac{a}$x聯(lián)立，能求出P點坐標，將x=0帶入直線l，能求出Q點坐標，由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-a²，由此入手能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵A，F(xiàn)分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點、右焦點，
∴A（-a，0）F（c，0），
∵過F的直線l與C的一條漸近線垂直，
且與另一條漸近線和y軸分別交于P，Q兩點，
∴直線l的方程為：y=-$\frac{a}$x+$\frac{ac}$，
與y=-$\frac{a}$x聯(lián)立，解得P點（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$，$\frac{abc}{^{2}-{a}^{2}}$）
將x=0代入直線l：y=-$\frac{a}$x+$\frac{ac}$，得Q（0，$\frac{ac}$），
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-a²，∴（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$+a，$\frac{abc}{^{2}-{a}^{2}}$）•（a，$\frac{ac}$）=-a²，
化簡得3e²-e-4=0，
∴e=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，計算量較大，解題時要仔細解答，要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，是中檔題．