Question

7．求證：函數(shù)f（x）=x²+$\frac{2}{x}$在數(shù)集{x∈R|x＞1}上是增加的．

Answer 1

分析 直接利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明即可．

解答 證明：任取x₂＞x₁＞1，函數(shù)值作差得
$\begin{array}{l}f（{x_1}）-f（{x_2}）=（x_1^2+\frac{2}{x_1}）-（x_2^2+\frac{2}{x_2}）=（x_1^2-x_2^2）+（\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}）\\=（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）+\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}（{x_1}+{x_2}）-2}}{{{x_1}{x_2}}}\end{array}$
因為x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，而x₁x₂＞1＞0，x₁+x₂＞2，
所以x₁x₂（x₁+x₂）-2＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)$f（x）={x^2}+\frac{2}{x}$在數(shù)集{x∈R|x＞1}上是增加的．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查計算能力．