9.F是橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1的右焦點(diǎn),A,B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)M在直線x=-1上.
(Ⅰ)若A點(diǎn)坐標(biāo)為(-$\frac{4}{3}$,$\frac{1}{3}$),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(Ⅱ)求F到直線AB的距離d的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由題意設(shè)出B的坐標(biāo),把B的坐標(biāo)代入橢圓方程求得其縱坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得M的坐標(biāo);
(Ⅱ)當(dāng)AB垂直x軸時(shí),直接求得d=2;當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)AB的方程y=kx+m,代入橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,由判別式大于0及AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1得到k與m的關(guān)系,再由點(diǎn)到直線的距離公式得到d關(guān)于k的函數(shù)式,利用換元法求得d的范圍,則答案可求.

解答 解:(Ⅰ)∵A(-$\frac{4}{3}$,$\frac{1}{3}$),且線段AB的中點(diǎn)M在直線x=-1上,
∴設(shè)$B(-\frac{2}{3},{y}_{B})$,代入橢圓方程得,$\frac{(-\frac{2}{3})^{2}}{2}+{{y}_{B}}^{2}=1$,
解得${y}_{B}=±\frac{\sqrt{7}}{3}$,
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M(-1,$\frac{1+\sqrt{7}}{6}$)或(-1,$\frac{1-\sqrt{7}}{6}$).
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,$\frac{1+\sqrt{7}}{6}$)或(-1,$\frac{1-\sqrt{7}}{6}$);
(Ⅱ)當(dāng)AB⊥x軸時(shí),d=2;
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)AB的方程y=kx+m,代入橢圓方程,整理:
(2k2+1)x2+4kmx+2m2-1=0.
由△>0得:2k2+1>m2,①
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}=-2$,得:2k2+1=2km,
得$m=k+\frac{1}{2k}$,代入①得:$2{k}^{2}+1>(k+\frac{1}{2k})^{2}$,得:${k}^{2}>\frac{1}{2}$.
點(diǎn)F(1,0)到直線AB的距離d=$\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{{|2k+\frac{1}{2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{|2+\frac{1}{{2{k^2}}}|}}{{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}$,
令$t=\sqrt{\frac{1}{k^2}+1}$,則$t∈(1,\sqrt{3})$,
于是d=$\frac{1}{2}(t+\frac{3}{t})$在$t∈(1,\sqrt{3})$單調(diào)遞減,
故d$∈(\sqrt{3},2)$.
綜上所述,F(xiàn)到直線AB的距離d的取值范圍是$(\sqrt{3},2]$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用換元法求函數(shù)的值域,是中檔題.

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