Question

3．已知四棱錐S-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=AC=2，SA=SB=$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求證：平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，取AB的中點E，連接SE、EC，證明SE⊥面ABCD，即可證明平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）過E作EG⊥AC，垂足為G，連接SG，證明∠SGE是二面角A-AC-B的平面角，求出SG，即可求二面角A-AC-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取AB的中點E，連接SE、EC，
∵SA=SB=$\sqrt{2}$，∴SE⊥AB，AB=2，∴SE=1，
又四棱錐S-ACDE的底面為菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，AB=2，
∴CE=$\sqrt{3}$，
又SC=2，∴SC²=CE²+SE²，
∴SE⊥EC，∴SE⊥面ABCD，
∵SE?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：過E作EG⊥AC，垂足為G，連接SG，
由（Ⅰ）可得AC⊥SE，
∴AC⊥平面SEG，
∴SG⊥AC，
∴∠SGE是二面角A-AC-B的平面角．
在Rt△SEG中，SE=1，EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴SG=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠SGE=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角A-AC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題在四棱錐中證明面面垂直，并求二面角A-AC-B的余弦值．著重考查了平面與平面垂直的判定定理和二面角的平面角等知識，屬于中檔題．