Question

5．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=\frac{1}{3}y}\end{array}\right.$，得到曲線C′．
（1）求曲線C′的普通方程；
（2）若點(diǎn)A在曲線C′上，點(diǎn)D（0，2），當(dāng)點(diǎn)A在曲線C′上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AD中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移，代入?yún)��?shù)方程，消去參數(shù)即可求曲線C′的普通方程；
（2）設(shè)P（x，y），A（x₀，y₀），點(diǎn)A在曲線C′上，D（0，2），點(diǎn)A在曲線C′上，列出方程組，即可求AD中點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：（1）將$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），代入$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=\frac{1}{3}y}\end{array}\right.$，得到曲線C′的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x′=2cosθ}\\{y′=sinθ}\end{array}\right.$．
∴曲線C′的普通方程方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)P（x，y），A（x₀，y₀），又D（0，2），且AD中點(diǎn)為P
∴有：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x}\\{{y}_{0}=2y-2}\end{array}\right.$
又點(diǎn)A在曲線C'上，∴代入C'的普通方程得x²+（2y-2）²=1
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+4（y-1）²=1．            …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程間的關(guān)系，考查代入法的運(yùn)用，考查計(jì)算能力．