【題目】已知函數(shù)f(x)=x2eax
(Ⅰ)當a<0時,討論函數(shù)f(x)的單調性;
(Ⅱ)在(1)條件下,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值;
(Ⅲ)設函數(shù)g(x)=2ex ,求證:當a=1,對x∈(0,1),g(x)﹣xf(x)>2恒成立.

【答案】解:(Ⅰ)f'(x)=eax(ax2+2x),令f'(x)=0可得,x=0或 . 又a<0,則可知f(x)在(﹣∞,0)和 上單調遞減;在 上單調遞增.
(Ⅱ)在(Ⅰ)條件下,當 ,即﹣2≤a<0時,f(x)在[0,1]上單調遞增,
則f(x)最大值為f(1)=ea;
,即a<﹣2時,f(x)在 單調遞增,在 上單調遞減,
則f(x)的最大值為
(Ⅲ)要證g(x)﹣xf(x)>2,即證 ,
令h(x)=(2﹣x3)ex , 則h'(x)=(﹣x3﹣3x2+2)ex=﹣ex(x+1)(x2+2x﹣2),
又x∈(0,1),可知在x∈(0,1)內存在極大值點,又h(0)=2,h(1)=e,
則h(x)在x∈(0,1)上恒大于2,(11分)
在x∈(0,1)上恒小于2,因此g(x)﹣xf(x)>2在x∈(0,1)上恒成立
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)a的符號,求出函數(shù)的單調區(qū)間即可;(Ⅱ)通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調區(qū)間,求出函數(shù)的最值即可;(Ⅲ)問題轉化為證明 ,令h(x)=(2﹣x3)ex , 求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可.
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了調查喜歡旅游是否與性別有關,調查人員就“是否喜歡旅游”這個問題,在火車站分別隨機調研了 名女性或 名男性,根據(jù)調研結果得到如圖所示的等高條形圖.

(1)完成下列 列聯(lián)表:

喜歡旅游

不喜歡旅游

估計

女性

男性

合計


(2)能否在犯錯誤概率不超過 的前提下認為“喜歡旅游與性別有關”.
附:

/td>

參考公式:
,其中

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】電視連續(xù)劇《人民的名義》自2017年3月28日在湖南衛(wèi)視開播以來,引發(fā)各方關注,收視率、點擊率均占據(jù)各大排行榜首位.我們用簡單隨機抽樣的方法對這部電視劇的觀看情況進行抽樣調查,共調查了600人,得到結果如下:其中圖1是非常喜歡《人民的名義》這部電視劇的觀眾年齡的頻率分布直方圖;表1是不同年齡段的觀眾選擇不同觀看方式的人數(shù).
表1

觀看方式
年齡(歲)

電視

網(wǎng)絡

150

250

120

80


求:(I)假設同一組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替,求非常喜歡《人民的名義》這部電視劇的觀眾的平均年齡;
(II)根據(jù)表1,通過計算說明我們是否有99%的把握認為觀看該劇的方式與年齡有關?

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=x3+3x2-9x
(I)求fx)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)fx)在區(qū)間[-4,c]上的最小值為-5,求c的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】口袋中裝有2個白球和nn≥2,n N*)個紅球.每次從袋中摸出2個球(每次摸球后把這2個球放回口袋中),若摸出的2個球顏色相同則為中獎,否則為不中獎.
(I)用含n的代數(shù)式表示1次摸球中獎的概率;
(Ⅱ)若n=3,求3次摸球中恰有1次中獎的概率;
(III)記3次摸球中恰有1次中獎的概率為fp),當fp)取得最大值時,求n的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 的半焦距為 ,原點 到經(jīng)過兩點 的直線的距離為 .

(Ⅰ)求橢圓 的離心率;
(Ⅱ)如圖, 是圓 的一條直徑,若橢圓 經(jīng)過 兩點,求橢圓 的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】將函數(shù)y=cos2x的圖象向左平移 個單位,得到函數(shù)y=f(x)cosx的圖象,則f(x)的表達式可以是(
A.f(x)=﹣2sinx
B.f(x)=2sinx
C.f(x)= sin2x
D.f(x)= (sin2x+cos2x)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;

(2)判斷當時函數(shù)的單調性,并用定義證明;

(3)若定義域為,解不等式.

【答案】(1)奇函數(shù)(2)增函數(shù)(3)

【解析】試題分析:1)判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關于原點對稱,再判斷f(-x)f(x)的關系,如果對定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。2)利函數(shù)單調性定義證明單調性,按假設,作差,化簡,判斷,下結論五個步驟。(3)由(1)(2)奇函數(shù)在(-11)為單調函數(shù),

原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),f(2x-1)<f(-x),再由函數(shù)的單調性及定義(-1,1)求解得x范圍。

試題解析:1)函數(shù)為奇函數(shù).證明如下:

定義域為

為奇函數(shù)

2)函數(shù)在(-1,1)為單調函數(shù).證明如下:

任取,則

在(-1,1)上為增函數(shù)

3由(1)、(2)可得

解得:

所以,原不等式的解集為

點睛

(1)奇偶性:判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關于原點對稱,再判斷f(-x)f(x)的關系,如果對定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。

(2)單調性:利函數(shù)單調性定義證明單調性,按假設,作差,化簡,定號,下結論五個步驟。

型】解答
束】
22

【題目】已知函數(shù).

(1)若的定義域和值域均是,求實數(shù)的值;

(2)若在區(qū)間上是減函數(shù),且對任意的,都有,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若,且對任意的,都存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】中,分別是角A、B、C的對邊, ,且

(1)求角A的大。 (2)求的值域.

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