Question

20．已知f（x）=-cos²x+sinx+a，對(duì)任意x∈R都有f（x）≥1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{9}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 運(yùn)用同角的平方關(guān)系，配方可得f（x）=（sinx+$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{5}{4}$，可得sinx=-$\frac{1}{2}$，取得最小值，再由恒成立思想，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：f（x）=-cos²x+sinx+a
=sin²x+sinx+a-1=（sinx+$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{5}{4}$，
當(dāng)sinx=-$\frac{1}{2}$，即x=2kπ+$\frac{7π}{6}$或x=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k為整數(shù)時(shí)，
f（x）取得最小值a-$\frac{5}{4}$，
由對(duì)任意x∈R都有f（x）≥1恒成立，
可得a-$\frac{5}{4}$≥1，解得a≥$\frac{9}{4}$，
故答案為：[$\frac{9}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用可化為二次函數(shù)的最值的求法，同時(shí)考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．