Question

10．定義在R上的函數滿足f（0）=2，且f（x）+f′（x）＞4，則不等式e^xf（x）＞4e^x-2的解集是{x|x＞0}．

Answer 1

分析 本題構造新函數g（x）=e^xf（x）-4e^x+2，利用條件f（x）+f’（x）＞4，得到g′（x）＞0，得到函數g（x）單調遞增，再利用f（0）=2，得到函數g（x）過定點（0，0），解不等式e^xf（x）＞4e^x-2，即研究g（x）＞0，結合函數的圖象，得到x的取值范圍，即本題結論．

解答 解：令g（x）=e^xf（x）-4e^x+2，
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-4e^x，
∵對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞4，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-4]＞0，
∴函數y=g（x）在R上單調遞增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=0．
∴當x＜0時，g（x）＜0；
當x＞0時，g（x）＞0．
∵e^xf（x）＞4e^x-2，
∴e^xf（x）-4e^x-2＞0，
即g（x）＞0，
故答案為：{x|x＞0}．

點評 本題考查了函數的導數與單調性，還考查了構造法思想，本題有一定的難度，計算量適中，屬于中檔題．