Question

7．當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，$\frac{si{n}^{2}x+1}{sinx}$的取值范圍為（2，+∞）．

Answer 1

分析 換元可得sinx=t∈（0，1），則原式=t+$\frac{1}{t}$，由“對勾函數”的單調性可得．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴0＜sinx＜1，
∴$\frac{si{n}^{2}x+1}{sinx}$=sinx+$\frac{1}{sinx}$，
令sinx=t，則t∈（0，1），
∴sinx+$\frac{1}{sinx}$=t+$\frac{1}{t}$，
∵函數y=t+$\frac{1}{t}$在t∈（0，1）單調遞減，
∴y=t+$\frac{1}{t}$＞2，
∴$\frac{si{n}^{2}x+1}{sinx}$的取值范圍為：（2，+∞）
故答案為：（2，+∞）

點評 本題考查三角函數的最值，涉及“對勾函數”的單調性，屬中檔題．