Question

6．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax³-3x+1，x∈[-1，1]，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)并化簡(jiǎn)f′（x）=3ax²-3=3a（x²-$\frac{1}{a}$）=3a（x+$\frac{1}{\sqrt{a}}$）（x-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）；從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最值．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x+1，
∴f′（x）=3ax²-3=3a（x²-$\frac{1}{a}$）=3a（x+$\frac{1}{\sqrt{a}}$）（x-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）；
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，$\frac{1}{\sqrt{a}}$≥1；
故f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
故f_min（x）=f（1）=a-2；
②當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{1}{\sqrt{a}}$＜1；
f（x）在[-1，-$\frac{1}{\sqrt{a}}$]上是增函數(shù)，在[-$\frac{1}{\sqrt{a}}$，$\frac{1}{\sqrt{a}}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{1}{\sqrt{a}}$，1]上是增函數(shù)，
且f（-1）=4-a，f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=1-$\frac{2}{\sqrt{a}}$，
又∵f（-1）-f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=4-a-（1-$\frac{2}{\sqrt{a}}$）
=-$（\sqrt{a}-2）$$（\sqrt{a}+1）^{2}$，
故當(dāng)$\sqrt{a}$≤2，即a≤4時(shí)，f（-1）≥f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$），
故f_min（x）=f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=1-$\frac{2}{\sqrt{a}}$，
當(dāng)$\sqrt{a}$＞2，即a＞4時(shí)，f（-1）＜f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$），
故f_min（x）=f（-1）=4-a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．