Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+c在點x=2處取得極值c-32．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3ax²+b，由函數(shù)f（x）在點x=2處取得極值c-32．可得$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=8a+2b+c=c-32}\\{{f}^{′}（2）=12a+b=0}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）由（1）可得：f（x）=2x³-24x+c，f′（x）=6（x+2）（x-2），分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)性．可得當(dāng)x=-2時，函數(shù)f（x）取得極大值，解得c．由上面的單調(diào)性可知：在[-3，3]上的極小值為f（2）．與f（-3）比較即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+b，
∵函數(shù)f（x）在點x=2處取得極值c-32．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=8a+2b+c=c-32}\\{{f}^{′}（2）=12a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-24}\end{array}\right.$，
∴a=2，b=-24．
（2）由（1）可得：f（x）=2x³-24x+c，f′（x）=6x²-24=6（x+2）（x-2），
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜-2，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得-2＜x＜2，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=-2時，函數(shù)f（x）取得極大值，∴f（-2）=-16+48+c=28，解得c=-4．
∴f（x）=2x³-24x-4，f′（x）=6x²-24=6（x+2）（x-2），
由上面的單調(diào)性可知：在[-3，3]上的極小值為f（2）=16-48-4=-36．
又f（-3）=-54+72-4=14，∴f（x）在[-3，3]上的最小值為-36．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．