Question

17．在直線x-3y-2=0上求兩點(diǎn)，使它與點(diǎn)（-2，2）構(gòu)成等邊三角形的三個頂點(diǎn)．

Answer 1

分析 求出點(diǎn)到直線的距離的距離，推出等邊三角形的邊長，利用直線與圓的交點(diǎn)求解即可．

解答 解：點(diǎn)（-2，2）到直線x-3y-2=0的距離為：$\frac{|-2-6-2|}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{10}$，
則所求正三角形的邊長為$\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$，
則以（-2，2）為圓心，以$\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$為半徑的圓的方程為：（x+2）²+（y-2）²=$\frac{400}{3}$．
由x-3y-2=0代入圓的方程可知：（3y+4）²+（y-2）²=$\frac{400}{3}$．
解得y=1±$\frac{\sqrt{111}}{3}$．
當(dāng)y=1+$\frac{\sqrt{111}}{3}$．可得x=5+$\sqrt{111}$，
當(dāng)y=1-$\frac{\sqrt{111}}{3}$．可得x=5-$\sqrt{111}$，
所求交點(diǎn)坐標(biāo)為：（5+$\sqrt{111}$，1+$\frac{\sqrt{111}}{3}$）（5-$\sqrt{111}$，1-$\frac{\sqrt{111}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形的頂點(diǎn)的求法，考查計(jì)算能力．