Question

15．已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=$\frac{lnx}{x}$，若方程f（x）=g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]有且僅有一個實根，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [-e²，$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• B． [-e²，$\frac{1}{{e}^{2}}$）
• C． [-e²，$\frac{1}{{e}^{2}}$）∪{$\frac{1}{2e}$}
• D． [-e²，$\frac{1}{{e}^{2}}$）∪{$\frac{2}{3e}$}

Answer 1

分析 方程f（x）=g（x）可化為kx=$\frac{lnx}{x}$，從而作函數(shù)y=kx與y=$\frac{lnx}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上的圖象，由圖象分相切與不相切兩種情況討論，從而分別求直線的斜率即可．

解答 解：方程f（x）=g（x）可化為kx=$\frac{lnx}{x}$，
作函數(shù)y=kx與y=$\frac{lnx}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上的圖象如圖，
①當(dāng)相切時，設(shè)切點為（x，$\frac{lnx}{x}$），
（$\frac{lnx}{x}$）′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{lnx}{x}-0}{x-0}$，
解得，x=$\sqrt{e}$，此時k=$\frac{ln\sqrt{e}}{e}$=$\frac{1}{2e}$；
②當(dāng)不相切時，
令x=e時，y=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，A（e，$\frac{1}{e}$）；
令x=$\frac{1}{e}$時，y=$\frac{ln\frac{1}{e}}{\frac{1}{e}}$=-e，B（$\frac{1}{e}$，-e）；
故k_OA=$\frac{\frac{1}{e}-0}{e-0}$=$\frac{1}{{e}^{2}}$，k_OB=$\frac{-e-0}{\frac{1}{e}-0}$=-e²；
故-e²≤k＜$\frac{1}{{e}^{2}}$；
故實數(shù)k的取值范圍是[-e²，$\frac{1}{{e}^{2}}$）∪{$\frac{1}{2e}$}；
故選C．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及直線的斜率的求法與應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的作圖與數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．