Question

5．已知直線y=$\frac{1}{2}$x+b是曲線y=lnx在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線，
（1）求切點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求b值．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和條件求出切點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）將P的坐標(biāo)（2，ln2）代入切線方程y=$\frac{1}{2}$x+b，即可求出b的值．

解答 解：（1）由題意得，$y′=（lnx）′=\frac{1}{x}$，
因?yàn)榍�線y=lnx在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線是y=$\frac{1}{2}$x+b，
所以$\frac{1}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}$，則x₀=2，y₀=ln2，
則切點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，ln2）；
（2）將P的坐標(biāo)（2，ln2）代入切線方程y=$\frac{1}{2}$x+b，
有l(wèi)n2=$\frac{1}{2}×2$+b，則b=ln2-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求導(dǎo)公式，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義：過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，注意切點(diǎn)與曲線、切線的位置關(guān)系．