Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）當時，所以在上為增函數(shù)，當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，

所以函數(shù)在上為增函數(shù)；（2）.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）若可導函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）對于恒成立的問題，常用到兩個結(jié)論：（1）恒成立，（2）恒成立；（4）利用導數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)，其中一個重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口，觀察式子的特點，找到特點證明不等式.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為

當時，，所以在上為增函數(shù)；

當時，由得

則：當時，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，

當時，，

所以函數(shù)在上為增函數(shù). 6分

（Ⅱ）當時，，

∵在上為增函數(shù)，

在恒成立，

即在恒成立，

令，，

，

令，

在恒成立，

即在單調(diào)遞增，

即，

即在單調(diào)遞增，

所以． 12分

考點：1、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2、函數(shù)單調(diào)性的應用；3、恒成立的問題.

考點分析： 考點1：導數(shù)及其應用 試題屬性

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