Question

3．在等腰直角△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，D、E是線段BC上的點(diǎn)，且DE=$\frac{1}{3}$BC，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范圍是[$\frac{8}{9}，\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 可作出圖形，分別以AC，AB為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件即可設(shè)$D（x，\sqrt{2}-x），E（x+\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}-x）$，并且可求得$0≤x≤\frac{2\sqrt{2}}{3}$，從而進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}=2{x}^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3}x+\frac{4}{3}$，配方，根據(jù)x的范圍即可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$的最大值和最小值，即得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$的取值范圍．

解答 解：如圖，

分別以AC，AB為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系；
∵$DE=\frac{1}{3}BC$，設(shè)$D（x，\sqrt{2}-x）$，$0≤x≤\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則$E（x+\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}-x）$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}=（x，\sqrt{2}-x）•（x+\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}-x）$
=${x}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}x+\frac{4}{3}-\sqrt{2}x-\frac{2\sqrt{2}}{3}x+{x}^{2}$
=$2{x}^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3}x+\frac{4}{3}$
=$2（x-\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}+\frac{8}{9}$；
∴$x=\frac{\sqrt{2}}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$取最小值$\frac{8}{9}$，x=0或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$取最大值$\frac{4}{3}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$的取值范圍是$[\frac{8}{9}，\frac{4}{3}]$．
故答案為：$[\frac{8}{9}，\frac{4}{3}]$．

點(diǎn)評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問題的方法，根據(jù)條件能設(shè)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，配方求二次函數(shù)的最值．