Question

18．已知a＞0，b＞0，若a+b=1，則$\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}$的最小值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，a+b=1，可得：2a+1+2b+1=4．則$\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}$=$\frac{1}{4}$（2a+1+2b+1）$（\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}）$，展開利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴2a+1+2b+1=4．
則$\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}$=$\frac{1}{4}$（2a+1+2b+1）$（\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}）$=$\frac{1}{4}（5+\frac{2b+1}{2a+1}+\frac{4（2a+1）}{2b+1}）$≥$\frac{1}{4}$$（5+2\sqrt{\frac{2b+1}{2a+1}•\frac{4（2a+1）}{2b+1}}）$=$\frac{9}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=\frac{1}{6}$，b=$\frac{5}{6}$時取等號．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．