Question

14．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{33}}{7}$，且（4，0）在橢圓C上，圓M：x²+y²=r²與直線(xiàn)l：y=8x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求橢圓C的方程與圓M的方程；
（2）已知A（m，n）為圓M上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作橢圓C的兩條切線(xiàn)l₁，l₂．試探究直線(xiàn)l₁，l₂的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；求得直線(xiàn)和圓的交點(diǎn)（1，8），即可得到圓的方程；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)A與橢圓C相切的一條切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為x=±4，得到直線(xiàn)y=±7恰好為過(guò)點(diǎn)A與橢圓相切的另一條切線(xiàn)，于是兩切線(xiàn)l₁，l₂互相垂直；當(dāng)過(guò)點(diǎn)A（m，n）與橢圓C相切的切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為y-n=k（x-m），聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式等于0能推導(dǎo)出直線(xiàn)l₁、l₂始終相互垂直．

解答 解：（1）由題意得b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{33}}{7}$，
又a²-c²=16，
解得a=7，b=4c=$\sqrt{33}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{y}^{2}}{49}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1；
由題意可得圓M：x²+y²=r²與直線(xiàn)l：y=8x的一個(gè)交點(diǎn)為（1，8），
即有r²=65，
則圓M的方程：x²+y²=65；
（2）如圖，
①當(dāng)過(guò)點(diǎn)A與橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{49}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1相切的一條切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，
此時(shí)切線(xiàn)方程為x=±4，
∵點(diǎn)A在圓M：x²+y²=65上，則A（±4，±7），
∴直線(xiàn)y=±7恰好為過(guò)點(diǎn)A與橢圓相切的另一條切線(xiàn)，于是兩切線(xiàn)l₁，l₂互相垂直；
②當(dāng)過(guò)點(diǎn)A（m，n）與橢圓C相切的切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，
設(shè)切線(xiàn)方程為y-n=k（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-n=k（x-m）}\\{\frac{{y}^{2}}{49}+\frac{{x}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，
得（49+16k²）x²+32k（n-mk）x+16k²m²-32kmn+16n²-49×16=0，
由于直線(xiàn)與橢圓相切，
∴△=1024k²（n-mk）²-4（49+16k²）（16k²m²-32kmn+16n²-49×16）=0，
整理，得（16-m²）k²+2mnk+49-n²=0，
∴k₁k₂=$\frac{49-{n}^{2}}{16-{m}^{2}}$，
∵P（m，n）在圓x²+y²=65上，∴m²+n²=65，
∴16-m²=n²-49，
∴k₁k₂=-1，則兩直線(xiàn)互相垂直．
綜上所述，直線(xiàn)l₁、l₂始終相互垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓C的方程和圓M的方程的求法，考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷，訓(xùn)練了兩直線(xiàn)垂直與斜率的關(guān)系，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，注意轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，是中檔題．