Question

15．某工廠年初用49萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)新設(shè)備，第一年設(shè)備維修及原料消耗的總費(fèi)用6萬(wàn)元，以后每年都增加2萬(wàn)元，新設(shè)備每年可給工廠創(chuàng)造收益25萬(wàn)元．
（1）工廠第幾年開(kāi)始獲利？
（2）若干年后，該工廠有兩種處理該設(shè)備的方案：①年平均收益最大時(shí)，以14萬(wàn)元出售該設(shè)備；②總收益最大時(shí)，以9萬(wàn)元出售該設(shè)備．問(wèn)出售該設(shè)備后，哪種方案年平均收益較大？

Answer 1

分析 （1）判斷費(fèi)用是以6為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，設(shè)第n年時(shí)累計(jì)的純收入為f（n）．求出通項(xiàng)公式，利用f（n）＞0，列出不等式，求解即可．
（2）方案①：列出年平均收入利用基本不等式求出最值；方案②：利用數(shù)列的函數(shù)的特征，通過(guò)二次函數(shù)求解最值即可．

解答 （本題滿分16分）
解：（1）由題設(shè)，每年費(fèi)用是以6為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
設(shè)第n年時(shí)累計(jì)的純收入為f（n）．
∴f（n）=25n-[6+8+…+（2n+4）]-49=-n²+20n-49，…（3分）
獲利即為：f（n）＞0∴-n²+20n-49＞0，即n²-20n+49＜0
⇒10-$\sqrt{51}$$＜n＜10+\sqrt{51}$，又n∈N，∴n=3，4，5，…，17． …6 分
∴當(dāng)n=3時(shí)，即第3年開(kāi)始獲利；…（7分）
（2）方案①：年平均收入$\frac{f（n）}{n}=20-（{n+\frac{49}{n}}）≤20-14=6$（萬(wàn)元），此時(shí)n=7，
出售該設(shè)備后，年平均收益為$6+\frac{14}{7}=8$（萬(wàn)元）；…11 分
方案②：f（n）=-（n-10）²+51，
∴當(dāng)n=10時(shí)，f（n）_max=51，
出售該設(shè)備后，年平均收益為$\frac{51+9}{10}=6$（萬(wàn)元），…15 分
故第一種方案年平均收益較大．  …16 分

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，基本不等式求解最值，武承嗣的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．