Question

4．命題P：關(guān)于x的不等式x²+2ax+4＞0對一切x∈R恒成立；
命題q：復(fù)數(shù)Z₁=3+i，Z₂=a-i，i為虛數(shù)單位，則z=z₁•z₂在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第四象限，若“p或q”為真，且“p且q”為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p容易得到△＜0，從而得到-2＜a＜2，對于命題q先求出復(fù)數(shù)z=（3a+1）+（a-3）i，根據(jù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限即可得到$-\frac{1}{3}＜a＜3$，根據(jù)條件容易得到p，q一真一假，從而分別求出p真q假，p假q真時a的取值范圍再求并集即可．

解答 解：由命題p知：△=4a²-16＜0；
解得-2＜a＜2；
由命題q：z=z₁•z₂=（3+i）（a-i）=（3a+1）+（a-3）i；
∵z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第四象限；
∴$\left\{\begin{array}{l}3a+1＞0\\ a-3＜0\end{array}\right.⇒-\frac{1}{3}＜a＜3$；
∵“p或q”為真，且“p且q”為假；
∴p，q一真一假；
（1）若p真q假，所以有$\left\{\begin{array}{l}-2＜a＜2\\ a≤-\frac{1}{3}或a≥3\end{array}\right.⇒-2＜a≤-\frac{1}{3}$；
（2）若p假q真，所以有$\left\{\begin{array}{l}a≤-2或a≥2\\-\frac{1}{3}＜a＜3\end{array}\right.⇒2≤a＜3$；
則實數(shù)a的取值范圍為$（-2，-\frac{1}{3}]∪[2，3）$．

點評 考查判別式△和二次函數(shù)值的關(guān)系，解一元二次不等式，掌握復(fù)平面的概念，復(fù)數(shù)坐標(biāo)的定義，以及p或q，p且q的真假和p，q真假的關(guān)系．