Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-a²x+$\frac{1}{2}$a（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-b恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得a=1的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，由題意可得，只要b介于極小值和極大值之間；
（Ⅱ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到最小值，再由不等式恒成立思想即可得到．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-1=（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，x₁=-1，x₂=1，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的取值情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

$f（{-1}）=\frac{7}{6}$，$f（1）=-\frac{1}{6}$，
所以，實(shí)數(shù)b的取值范圍是$（-\frac{1}{6}，\frac{7}{6}）$．
（Ⅱ）f′（x）=（x+a）（x-a），令f′（x）=0，x₁=-a，x₂=a，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0不合題意；                               
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a）＞0，得$0＜a＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；                           
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-a）上是減函數(shù)，在（-a，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-a）＜f（0）＜0，不合題意．
綜上，$0＜a＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．