Question

14．若存在兩個正實數(shù)x，y，使得x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）∪[$\frac{1}{e}$，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{e}$]
• C． [$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 由題意得-$\frac{1}{a}$=（$\frac{y}{x}$-2e）ln$\frac{y}{x}$=（t-2e）lnt，（t=$\frac{y}{x}＞0$），令m=（t-2e）lnt，（t＞0），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意得-$\frac{1}{a}$=（$\frac{y}{x}$-2e）ln$\frac{y}{x}$=（t-2e）lnt，（t=$\frac{y}{x}＞0$），
令m=（t-2e）lnt，（t＞0），
則m′=lnt+$\frac{t-2e}{t}$，m''=$\frac{1}{t}$+$\frac{2e}{{t}^{2}}$＞0，
當(dāng)x＞e時，m′＞m′（e）=0，
當(dāng)0＜x＜e時，m′＜m′（e）=0，
∴m≥m（e）=-e，
∴-$\frac{1}{a}$≥-e，
解得a＜0或a≥$\frac{1}{e}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪[$\frac{1}{e}$，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運用．