【題目】在單調(diào)遞增數(shù)列中,,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,

)(求證:數(shù)列為等差數(shù)列;

求數(shù)列的通項公式

設數(shù)列的前項和為,證明:。

【答案】1緊扣等差數(shù)列定義證明,2為偶數(shù)時,當為奇數(shù)時。(3證明見解析。

【解析】

試題分析:要證明數(shù)列為等差數(shù)列,只需證明成立,由于數(shù)列首項為正,

數(shù)列為單調(diào)遞增,說以,由成等差數(shù)列,得……1,由因為,成等比數(shù)列,則,于是代入1式整理得:得證;先求,備用,由于數(shù)列為等差數(shù)列,可借助等差數(shù)列通項公式求出,再由求出,最后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況表達,由于數(shù)列的通項公式分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況表達的,所以需要合在一起,合成公式是

,合成后對進行放縮,這里技巧很重要,

,再求,最后利用裂項相消法求和達到證明不等式的目的;

試題解析:因為數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,,所以()。由題意成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,.得,,于是,化簡得,所以數(shù)列為等差數(shù)列。

,,所以數(shù)列的首項為,公差為,所以,從而。結合可得因此,當為偶數(shù)時,當為奇數(shù)時。

2所以數(shù)列的通項公式為

。所以;則有,所以。

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