Question

13．如圖甲所示，BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，OD=3OA，現(xiàn)將梯形ABCD沿OB折起如圖乙所示的四棱錐P-OBCD，使得PC=$\sqrt{3}$，點(diǎn)E是線段PB上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）證明：DE和PC不可能垂直；
（2）當(dāng)PE=2BE時(shí)，求PD與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 由題可知，可以直接建立空間直角坐標(biāo)線證明位置關(guān)系和計(jì)算角．
（1）只要證明$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}$=0不成立即可．
（2）求出平面CDE的法向量，用向量角的余弦值來(lái)求PD與平面CDE所成角的正弦值．

解答 （1）證明：如圖甲所示，因?yàn)锽O是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，
所以AO=OB…（1分）
因?yàn)锽C=1，OD=3OA，可得OD=3，OC=$\sqrt{2}$…（2分）
如圖乙所示，OP=OA=1，OC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$，
所以有OP²+OC²=PC²，所以O(shè)P⊥OC…（3分）
而OB⊥OP，OB∩OC=O，所以O(shè)P⊥平面OPD…（4分）
又OB⊥OD，所以O(shè)B、OD、OP兩兩垂直．故以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，3，0）
…（5分）
設(shè)E（x，0，1-x），其中0≤x≤1，所以$\overrightarrow{DE}$=（x，-3，1-x），$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），
假設(shè)DE和SC垂直，則$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}$=0，有x-3+（1-x）（-1）=0，解得x=2，
這與0≤x≤1矛盾，假設(shè)不成立，所以DE和SC不可能垂直…（6分）
（2）解：因?yàn)镻E=2BE，所以 E（$\frac{2}{3}$，0，$\frac{1}{3}$）…（7分）
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
因?yàn)?\overrightarrow{CD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{3}$，-3，$\frac{1}{3}$），所以$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{\frac{2}{3}x-3y+\frac{1}{3}z=0}\end{array}\right.$…（9分）
取$\overrightarrow{n}$=（2，1，5）…（10分）
而$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-1），所以|cos＜$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{15}$，
所以PD與平面CDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{15}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查了用空間向量法分析空間位置關(guān)系．考查了用空間向量法求法向量、線面角的大�。�考查了化歸思想，空間想象能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題．