Question

11．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠CAB=60°點P在線段AB上，滿足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，若$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$，則實數(shù)的λ值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 運用向量的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義和性質：向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．

解答 解：若$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{PA}•$$\overrightarrow{PB}$，
則（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AP}$）•$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}$），
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
即有（$\overrightarrow{CA}$+$λ\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AB}$=-$λ\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$-λ$\overrightarrow{AB}$），
則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$+$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$=-$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$+λ²${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
由AB=2，AC=3，∠CAB=60°，
則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$=3×2×（-$\frac{1}{2}$）=-3，
即有-3+4λ=-4λ+4λ²，
解得λ=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$（舍去）．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查向量的三角形法則和數(shù)量積的定義及性質，主要考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．