Question

6．設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，a₃=$\frac{1}{8}$，且S₂+$\frac{1}{16}$，S₃、S₄成等差數列，數列{b_n}滿足b_n=8n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數列{b_n}的前n項和為T_n，求數列{a_n+$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記數列{a_n}的公比為q，通過S₂+$\frac{1}{16}$，S₃、S₄成等差數列，及a₃=$\frac{1}{8}$，可得結論；
（Ⅱ）利用b_n=8n （n∈N^*），可得T_n=4n²+4n，從而可得a_n+$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，計算可得數列{a_n+$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）記數列{a_n}的公比為q，
∵S₂+$\frac{1}{16}$，S₃、S₄成等差數列，
∴2S₃=S₂+$\frac{1}{16}$+S₄，即${a}_{3}={a}_{4}+\frac{1}{16}$，
又a₃=$\frac{1}{8}$，所以${a}_{4}=\frac{1}{16}$，
故$q=\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$，${a}_{1}=\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{8}}{（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{1}{2}$，
從而a_n=$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{n-1}=（\frac{1}{2}）^{n}$ （n∈N^*）；
（Ⅱ）∵b_n=8n （n∈N^*），
∴T_n=$8×\frac{n（n+1）}{2}$=4n²+4n，
$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
所以a_n+$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
則數列{a_n+$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和為$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{5}{4}-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{4（n+1）}$．

點評 本題考查等比數列的通項公式與前n項和公式、等差中項的應用、裂項法、分組法求和，考查轉化與化歸思想、運算求解能力、數據處理能力和推理論證能力．