Question

11．已知函數(shù)f（x）=asinx+ln（1-x）．
（1）若a=1，求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，1）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（3）求證：e${\;}^{sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}}$＜2，（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到f′（0）及f（0），然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）由f（x）在區(qū)間[0，1）上單調(diào)遞減，可得f′（x）=acosx-$\frac{1}{1-x}$≤0對(duì)x∈[0，1）恒成立，然后對(duì)a分類即可求得a的取值范圍為（-∞，1]；
（3）由（2）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=sinx+ln（1-x）在（0，1）上單調(diào)遞減，可得f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln$\frac{1}{1-x}$，由$sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$ln\frac{1}{1-\frac{1}{（n+1）^{2}}}=ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$及$ln\frac{{2}^{2}}{1•3}+ln\frac{{3}^{2}}{2•4}+…+ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$=ln[$\frac{{2}^{2}}{1•3}•\frac{{3}^{2}}{2•4}…\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$]=$ln\frac{2（n+1）}{n+2}=ln[2（1-\frac{1}{n+2}）]$＜ln2．即可證得$sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln2．則e${\;}^{sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}}$＜2，（n∈N^*）．

解答 （1）解：a=1時(shí)，f（x）=asinx+ln（1-x），
f′（x）=cosx-$\frac{1}{1-x}$，∴f′（0）=0，又f（0）=0，
∴f（x）在x=0處的切線方程為y=0；
（2）解：∵f（x）在區(qū)間[0，1）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=acosx-$\frac{1}{1-x}$≤0對(duì)x∈[0，1）恒成立，
若a≤0，x∈[0，1）時(shí)，acosx-$\frac{1}{1-x}$≤0成立．
若a＞0，acosx-$\frac{1}{1-x}$≤0?（1-x）cosx$≤\frac{1}{a}$．
令h（x）=（1-x）cosx，顯然h（x）在[0，1）上單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（0）=1，∴$\frac{1}{a}≥1$，則0＜a≤1．
綜上，a的取值范圍為（-∞，1]；
（3）證明：由（2）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=sinx+ln（1-x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln$\frac{1}{1-x}$，
而$\frac{1}{（n+1）^{2}}$∈（0，1），∴$sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$ln\frac{1}{1-\frac{1}{（n+1）^{2}}}=ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，
∴$sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$ln\frac{{2}^{2}}{1•3}+ln\frac{{3}^{2}}{2•4}+…+ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，
而$ln\frac{{2}^{2}}{1•3}+ln\frac{{3}^{2}}{2•4}+…+ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$=ln[$\frac{{2}^{2}}{1•3}•\frac{{3}^{2}}{2•4}…\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$]=$ln\frac{2（n+1）}{n+2}=ln[2（1-\frac{1}{n+2}）]$＜ln2．
∴$sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln2．
∴e${\;}^{sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}}$＜2，（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了由導(dǎo)數(shù)及放縮法證明函數(shù)不等式，是壓軸題．