【題目】如圖,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左右焦點分別為F1 , F2 , 線段OF1 , OF2的中點分別為B1 , B2 , 且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過B1做直線l交橢圓于P,Q兩點,使PB2⊥QB2 , 求直線l的方程.

【答案】
(1)解:設(shè)橢圓的方程為 ,F(xiàn)2(c,0)

∵△AB1B2是的直角三角形,|AB1|=AB2|,∴∠B1AB2為直角,從而|OA|=|OB2|,即

∵c2=a2﹣b2,∴a2=5b2,c2=4b2,∴

在△AB1B2中,OA⊥B1B2,∴S= |B1B2||OA|=

∵S=4,∴b2=4,∴a2=5b2=20

∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為


(2)解:由(1)知B1(﹣2,0),B2(2,0),由題意,直線PQ的傾斜角不為0,故可設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2

代入橢圓方程,消元可得(m2+5)y2﹣4my﹣16=0①

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

,

=

∵PB2⊥QB2,∴

,∴m=±2

所以滿足條件的直線有兩條,其方程分別為x+2y+2=0和x﹣2y+2=0.


【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為 ,F(xiàn)2(c,0),利用△AB1B2是的直角三角形,|AB1|=AB2|,可得∠B1AB2為直角,從而 ,利用c2=a2﹣b2 , 可求 ,又S= |B1B2||OA|= =4,故可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由(1)知B1(﹣2,0),B2(2,0),由題意,直線PQ的傾斜角不為0,故可設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2,代入橢圓方程,消元可得(m2+5)y2﹣4my﹣16﹣0,利用韋達(dá)定理及PB2⊥QB2 , 利用 可求m的值,進(jìn)而可求直線l的方程.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

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A.
B.
C.
D.

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(Ⅱ)能否有99℅的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?

(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查辦法來估計該地區(qū)的老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例?說明理由。

是否需要志愿者

性別

需要

40

30

不需要

160

270

參考數(shù)據(jù):

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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,

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