【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求證:AA1⊥平面ABC;
(2)求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
(3)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求 的值.
【答案】
(1)證明:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,
∴AA1⊥平面ABC.
(2)解:由AC=4,BC=5,AB=3.
∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC.
建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
∴ ,
,
.
設平面A1BC1的法向量為 ,平面B1BC1的法向量為
=(x2,y2,z2).
則 ,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴
.
,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴
.
=
=
=
.
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為 .
(3)證明:設點D的豎坐標為t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D ,
∴ =
,
=(0,3,﹣4),
∵ ,∴
,
∴ ,解得t=
.
∴ .
【解析】(1)利用AA1C1C是正方形,可得AA1⊥AC,再利用面面垂直的性質即可證明;(2)利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC.通過建立空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角;(3)設點D的豎坐標為t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D ,利用向量垂直于數(shù)量積得關系即可得出.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點,需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,為測得河對岸塔的高,先在河岸上選一點
,使
在塔底
的正東方向上,測得點
的仰角為60°,再由點
沿北偏東15°方向走
到位置
,測得
,則塔
的高是(單位:
)( )
A. B.
C.
D. 10
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法正確的是( )
A. 函數(shù)的周期為
B. 函數(shù)在
上單調遞增
C. 函數(shù)的圖象關于點
對稱
D. 把函數(shù)的圖象向右平移
個單位,所得圖象對應的函數(shù)為奇函數(shù)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是預測到的某地5月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖,空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良,空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇5月1日至5月13日中的某一天到達該市,并停留2天
(1)求此人到達當日空氣質量優(yōu)良的概率;
(2)設X是此人停留期間空氣質量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望
(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數(shù)方差最大?(結論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若α是第一象限角,則sinα+cosα的值與1的大小關系是( )
A. sinα+cosα>1B. sinα+cosα=1C. sinα+cosα<1D. 不能確定
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【題目】隨著支付寶、微信等支付方式的上線,越來越多的商業(yè)場景可以實現(xiàn)手機支付.有關部門為了了解各年齡段的人使用手機支付的情況,隨機調查了50次商業(yè)行為,并把調查結果制成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
手機支付 | 4 | 6 | 10 | 6 | 2 | 0 |
(1)若把年齡在的人稱為中青年,年齡在
的人稱為中老年,請根據(jù)上表完成以下
列聯(lián)表;并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認為使用手機支付與年齡(中青年、中老年)有關系?
手機支付 | 未使用手機支付 | 總計 | |
中青年 | |||
中老年 | |||
總計 |
(2)若從年齡在的被調查中隨機選取2人進行調查,記選中的2人中,使用手機支付的人數(shù)為
,求
的分布列及數(shù)學期望
.
參考公式:,其中
.
獨立性檢驗臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosωxsin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間[0, ]上的單調性.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左右焦點分別為F1 , F2 , 線段OF1 , OF2的中點分別為B1 , B2 , 且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標準方程;
(2)過B1做直線l交橢圓于P,Q兩點,使PB2⊥QB2 , 求直線l的方程.
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