【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求證:AA1⊥平面ABC;
(2)求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
(3)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求 的值.

【答案】
(1)證明:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.

又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,

∴AA1⊥平面ABC.


(2)解:由AC=4,BC=5,AB=3.

∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),

, ,

設(shè)平面A1BC1的法向量為 ,平面B1BC1的法向量為 =(x2,y2,z2).

,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴

,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴

= = =

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為


(3)證明:設(shè)點D的豎坐標(biāo)為t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D ,

= , =(0,3,﹣4),

,∴

,解得t=


【解析】(1)利用AA1C1C是正方形,可得AA1⊥AC,再利用面面垂直的性質(zhì)即可證明;(2)利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC.通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角;(3)設(shè)點D的豎坐標(biāo)為t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D ,利用向量垂直于數(shù)量積得關(guān)系即可得出.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點,需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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A. B. C. D.

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(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率;
(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望
(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)

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年齡(歲)

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

手機(jī)支付

4

6

10

6

2

0

(1)若把年齡在的人稱為中青年,年齡在的人稱為中老年,請根據(jù)上表完成以下列聯(lián)表;并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為使用手機(jī)支付與年齡(中青年、中老年)有關(guān)系?

手機(jī)支付

未使用手機(jī)支付

總計

中青年

中老年

總計

(2)若從年齡在的被調(diào)查中隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查,記選中的2人中,使用手機(jī)支付的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式:,其中.

獨立性檢驗臨界值表:

0.15

0.10

0.005

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過B1做直線l交橢圓于P,Q兩點,使PB2⊥QB2 , 求直線l的方程.

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