【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求證:AA1⊥平面ABC;
(2)求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
(3)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求 的值.

【答案】
(1)證明:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.

又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,

∴AA1⊥平面ABC.


(2)解:由AC=4,BC=5,AB=3.

∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC.

建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),

,

設平面A1BC1的法向量為 ,平面B1BC1的法向量為 =(x2,y2,z2).

,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴

,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴

= = =

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為


(3)證明:設點D的豎坐標為t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D ,

= =(0,3,﹣4),

,∴ ,

,解得t=


【解析】(1)利用AA1C1C是正方形,可得AA1⊥AC,再利用面面垂直的性質即可證明;(2)利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC.通過建立空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角;(3)設點D的豎坐標為t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D ,利用向量垂直于數(shù)量積得關系即可得出.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點,需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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年齡(歲)

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

手機支付

4

6

10

6

2

0

(1)若把年齡在的人稱為中青年,年齡在的人稱為中老年,請根據(jù)上表完成以下列聯(lián)表;并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認為使用手機支付與年齡(中青年、中老年)有關系?

手機支付

未使用手機支付

總計

中青年

中老年

總計

(2)若從年齡在的被調查中隨機選取2人進行調查,記選中的2人中,使用手機支付的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.

參考公式:,其中.

獨立性檢驗臨界值表:

0.15

0.10

0.005

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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