Question

7．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)g（x）圖象，求g（x）的對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的極值性即可得解；
（Ⅱ）由三角函數(shù)圖形變換規(guī)律可求g（x），由2x=kπ，（k∈Z）可得對稱軸，由2x=k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）可得對稱中心．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x=$\sqrt{3}$sin2x+1+cos2x，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴f（x）的最大值為3--------------（6分）
（Ⅱ）∵$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，將函數(shù)f（x）圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)g（x）圖象，
∴g（x）=2cos2x+2，
∴由2x=kπ，（k∈Z）可得對稱軸為直線$x=\frac{kπ}{2}$，（k∈Z）
由2x=k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）可得對稱中心為$（\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}，2）$，（k∈Z）--------（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)圖形變換規(guī)律，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．