Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線與x軸平行，求a的值；
（Ⅱ）若a=2，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅲ）若a=1，請(qǐng)列出表格求函數(shù)f（x）的極大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$f'（x）=\frac{1}{x}-a$．由函數(shù)f（x）在x=1處的切線與x軸平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出a的值．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx-2x，f'（1）=ln1-2=-2，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程．
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x，$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．令f'（x）=0，解得x=1，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況列表表示，由此能求出f（x）的極大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-a$．
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線與x軸平行，
∴f'（1）=1-a=0，解得a=1．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx-2x，
∴f'（1）=ln1-2=-2，
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切點(diǎn)為（1，-2）．
∵$f'（x）=\frac{1}{x}-2$，∴k=f'（1）=1-2=-1，
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0．
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x，$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
令f'（x）=0，解得x=1，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

所以f（x）在x=1處取得極大值f（1）=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的極大值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．