Question

3．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π），在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，求：
（1）函數(shù)振幅、周期和初相并寫(xiě)出f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求直線(xiàn)y=$\sqrt{2}$與函數(shù)y=f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)圖象可得A，T，利用周期公式可解得ω，由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，2）點(diǎn)，可得2=2sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=2，結(jié)合范圍|φ|≤π，可得φ，從而得解．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）由$\sqrt{2}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），可解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：2x+$\frac{π}{3}$=2k$π+\frac{π}{4}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{3π}{4}$，k∈Z，即可解得直線(xiàn)y=$\sqrt{2}$與函數(shù)y=f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由函數(shù)圖象可得：A=2，T=2（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}$）=π，可解得：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，2）點(diǎn)，可得2=2sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=2，解得：φ+$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，又|φ|≤π，可得φ=$\frac{π}{3}$．
故f（x）的函數(shù)振幅為2，周期為π，初相為$\frac{π}{3}$，解析式為：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{5π}{12}$，kπ$+\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（3）由$\sqrt{2}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），可解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
從而解得：2x+$\frac{π}{3}$=2k$π+\frac{π}{4}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{3π}{4}$，k∈Z，
解得：x=kπ$-\frac{π}{24}$或x=kπ+$\frac{5π}{24}$，k∈Z．
故直線(xiàn)y=$\sqrt{2}$與函數(shù)y=f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（kπ$-\frac{π}{24}$，$\sqrt{2}$或（kπ+$\frac{5π}{24}$，$\sqrt{2}$）k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．