Question

16．已知△OAB的頂點坐標(biāo)為O（0，0），A（1，3），B（6，-2），又點P（-2，1），點Q是邊AB上一點，且$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AP}$=-10．
（1）求點Q的坐標(biāo)；
（2）若R為線段OQ（含端點）上的一個動點，試求（$\overrightarrow{RO}$+$\overrightarrow{RP}$）•（$\overrightarrow{RA}$+$\overrightarrow{RB}$）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$，根據(jù)向量數(shù)量積關(guān)系$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AP}$=-10解方程求出λ即可．
（2）由R為線段OQ上的一個動點可設(shè)R（2t，2t），且0≤t≤1，分別求出$\overrightarrow{RO}$，$\overrightarrow{RP}$，$\overrightarrow{RA}$，$\overrightarrow{RB}$的向量坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積$\overrightarrow{RO}$+$\overrightarrow{RP}$）•（$\overrightarrow{RA}$+$\overrightarrow{RB}$整理可得關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的知識可求取值范圍．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AP}$=（-3，-2），$\overrightarrow{AB}$=（5，-5），
∵點Q是邊AB上一點，
∴設(shè)$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$=（5λ，-5λ），
$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AQ}$=（1，3）+（5λ，-5λ）=（1+5λ，3-5λ），
∵$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AP}$=-10．
∴-3（1+5λ）-2（3-5λ）=-10，
即λ=$\frac{1}{5}$，則$\overrightarrow{OQ}$=（1+5×$\frac{1}{5}$，3-5×$\frac{1}{5}$）=（2，2）．
即Q（2，2）．
（2）∵R為線段OQ上的一個動點，∴設(shè)R（2t，2t），且0≤t≤1，
則$\overrightarrow{RO}$=（-2t，-2t），$\overrightarrow{RP}$=（-2-2t，1-2t），$\overrightarrow{RA}$=（1-2t，3-2t），$\overrightarrow{RB}$=（6-2t，-2-2t），
則（$\overrightarrow{RO}$+$\overrightarrow{RP}$）•（$\overrightarrow{RA}$+$\overrightarrow{RB}$）=（-2-4t，1-4t）•（7-4t，1-4t）
=（-2-4t）（7-4t）+（1-4t）（1-4t）=32t²-28t-13
=32（t-$\frac{7}{16}$）²-$\frac{153}{8}$，
∵0≤t≤1，
∴當(dāng)t=$\frac{7}{16}$時，函數(shù)取得最小值-$\frac{153}{8}$，
當(dāng)t=1時，函數(shù)取得最大值-9，
即（$\overrightarrow{RO}$+$\overrightarrow{RP}$）•（$\overrightarrow{RA}$+$\overrightarrow{RB}$）的范圍是[-$\frac{153}{8}$，-9]．

點評 本題主要考查平面向量與函數(shù)的綜合問題中，利用向量的數(shù)量積，向量共線的坐標(biāo)公式進行轉(zhuǎn)化，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大，考查學(xué)生的計算能力．