Question

17．已知$\frac{1}{2}$＜a＜4，函數(shù)f（x）=x³-3bx²+a有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，則|x₁-x₂|的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，1）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{3}{2}$，3）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 處理一元三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題可借助其導(dǎo)函數(shù)．如本題有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即為其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的根．

解答 解：∵函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x²-6bx，有兩個(gè)不同的根
由f′（x）=0得x=0或x=2b
∵f（0）=a≠0，
∴f（2b）=0，即$\frac{1}{2}$＜b＜1
則f（x）有一根是確定的，為2b．
f（x）的另一個(gè)根為負(fù)的，且f（x）=（x-2b）²（x+b）
∴另一個(gè)根為-b．
則|x₁-x₂|=3b
∴兩個(gè)根的差的絕對(duì)值為（$\frac{3}{2}$，3）
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)求導(dǎo)，及一元二次導(dǎo)函數(shù)求根．需要熟練掌握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，由于是選擇題，本題屬于中檔題．