Question

7．四個小球放入編號為1、2、3、4四個盒子中，依下列條件各有多少種放法．
（1）四個小球不同，四個盒子恰有一個空著；
（2）四個小球相同，四個盒子恰有一個空著；
（3）四個小球不同，允許有空盒；
（4）四個小球相同，允許有空盒．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：1、從4個盒子中選出一個盒子當(dāng)作空盒，2、再向其余3個盒子裝球，需要先將小球分成2、1、1的三組，再對應(yīng)3個盒子；由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：1、從4個盒子中選出一個盒子當(dāng)作空盒，2、再向其余3個盒子裝球，只要選一個盒子裝2個球，另外的2個盒子一定是每個裝一個球，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，每個小球可以放進(jìn)任意的一個盒子里，即每個小球有4種放法，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（4）根據(jù)題意，分4種情況討論：①、4個盒子中沒有1個空盒，即每個盒子放1個小球，②、4個盒子中有1個空盒，即4個盒子中有1個放了2個小球，有2個放了1個小球，有1個空盒，③、4個盒子中有2個空盒，再分2種情況討論：a、4個盒子中有1個放了3個小球，1個盒子放1個小球，其余2個均是空盒，b、4個盒子中有2個放了2個小球，其余2個均是空盒，④、4個盒子中有3個空盒，即4個盒子中有1個放了4個小球，其余3個均是空盒，分別求出每種情況下的小球放法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
1，從4個盒子中選出一個盒子當(dāng)作空盒，有$C_4^1$=4種選法，
2，再向其余3個盒子裝球，由題意，3個盒子分別裝2，1，1個球，
先將球分為2、1、1的三組，有$\frac{{C}_{4}^{2}×{C}_{2}^{1}×{C}_{1}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$種分法，再將三組對應(yīng)三個小盒，有A₃³種情況，
因此裝球的裝法為$\frac{C_4^2×C_2^1×C_1^1}{A_2^2}×A_3^3$=36，所以總方法數(shù)為4×36=144種．
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
1，從4個盒子中選出一個盒子當(dāng)作空盒，有$C_4^1$種選法，
2，再將其余3個盒子裝球，
由題意，3個盒子分別裝2，1，1個球，只要選一個盒子裝2個球，另外的2個盒子一定是每個裝一個球，有$C_3^1$種選法，
所以，總方法數(shù)為$C_4^1×C_3^1$=12種．
（3）根據(jù)題意，每個小球可以放進(jìn)任意的一個盒子里，即每個小球有4種放法，
則4個不同的小球有4×4×4×4=4⁴=256種不同的放法；
（4）根據(jù)題意，分4種情況討論：
①、4個盒子中沒有1個空盒，即每個盒子放1個小球，有1種放法，
②、4個盒子中有1個空盒，即4個盒子中有1個放了2個小球，有2個放了1個小球，有1個空盒，有$C_4^1×C_3^1$=12種放法，
③、4個盒子中有2個空盒，
再分2種情況討論：如果4個盒子中有1個放了3個小球，1個盒子放1個小球，其余2個均是空盒，有A₄²=12種放法，
如果4個盒子中有2個放了2個小球，其余2個均是空盒，有C₄²=6種放法，
則4個盒子中有2個空盒的放法有12+6=18種，
④、4個盒子中有3個空盒，即4個盒子中有1個放了4個小球，其余3個均是空盒，有$C_4^1$=4種放法，
則四個小球相同，允許有空盒的放法有1+12+18+4=35種．

點評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的綜合運用，解題是要特別注意小球相同與不相同的區(qū)別．