Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的減函數(shù)，對任意實數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（a+1）+f（a²）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（0）；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式進行轉(zhuǎn)化，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）取x=y=0，則f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0．
（2）定義域[-1，1]關(guān)于原點對稱，
取y=-x，
則f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴0=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）∵f（a+1）+f（a²）≤0，
∴f（a+1）≤-f（a²），
∵f（x）為奇函數(shù)．
∴f（a+1）≤f（-a²），
∵f（x）是定義在[-1，1]上的減函數(shù)，
∴

a+1≥-a2 -1≤a+1≤1 -1≤a2≤1

，
解得-1≤a≤0．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．