Question

已知二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，設(shè)向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2），當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得二次函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為x=1，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，不等式等價(jià)于cos2x＜0，再由2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈z，以及0≤x≤π，求得x的范圍．

解答： 解：由f（1-x）=f（1+x）成立，可得二次函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為x=1．
∵

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos2x+2≥1，
由二次項(xiàng)系數(shù)為正，可得f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

) 等價(jià)于 f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1），等價(jià)于2sin²x+1＞cos2x+2，化為cos2x＜0，
2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈z．
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3π

4

．
故不等式的解集是[

π

4

，

3π

4

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積運(yùn)算，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬中檔題．