Question

已知函數(shù)f（x）=x³+1，關于這個函數(shù)給出以下四個命題
①函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
②x=0是函數(shù)f（x）的極值點；
③y=1是曲線y=f（x）的一條切線；
④存在a，b∈R，使得x∈[a，b]時，f（x）∈[a+1，b+1]
其中真命題的個數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：由奇偶性的定義，即可判斷①；求出導數(shù)，令它為0，檢驗是否極值點，即可判斷②；
令f′（x）=0，得x=0，則切點為（0，1），求得切線，即可判斷③；由單調(diào)性，假設存在，由f（a）=a+1，f（b）=b+1．求得a，b，即可判斷④．

解答： 解：①f（-x）=-x³+1≠-f（x），故函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，故①錯；
②f′（x）=3x²，在x=0處附近導數(shù)均大于0，故x=0不是函數(shù)f（x）的極值點，故②錯；
③令f′（x）=0，得x=0，則切點為（0，1），切線為y=1．故③正確；
④由于f′（x）≥0，則f（x）在R上遞增，如果存在a，b∈R，使得x∈[a，b]時，f（x）∈[a+1，b+1]，
則f（a）=a+1，f（b）=b+1．則a=0，b=1或a=-1，b=1或b=0．故④正確．
故選B．

點評：本題考查函數(shù)的性質和運用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及極值、切線問題，屬于基礎題．