分析 先根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式求出an,Sn,再得Tn=Sn2-(a2S1+a3S2+…+anSn-1),構(gòu)造數(shù)列bn-1=a2S1+a3S2+…+anSn-1,求出和,得到Tn,設(shè)12n=x,0<x<1,由Tn>c•Sn2,得到c<23+23•1x+1x−1,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出.
解答 解:∵數(shù)列{an}是首項為1,公比為12的等比數(shù)列,
∴an=12n−1,Sn=1×(1−12n)1−12=2-12n−1,
∵Tn=a1(a1+a2+…+an)+a2(a2+a3+…+an)+…+an-1(an-1+an)+an2=a1Sn+a2(Sn-S1)+…+an(Sn-Sn-1),
=Sn(a1+a2+…+an)-(a2S1+a3S2+…+anSn-1)=Sn2-(a2S1+a3S2+…+anSn-1)
設(shè)bn-1=a2S1+a3S2+…+anSn-1,
∵anSn-1=12n−1(2-12n−2)=12n−2-122n−3,n≥2,
∴bn-1=2-12n−2-23(1-14n−1)=2-12n−2-23+23×4n−1=43-12n−2+23×4n−1,
∴Tn=(2-12n−1)2+43-12n−2+23×4n−1,
設(shè)12n=x,0<x<1,
∵Tn>c•Sn2,
∴c<1-13(1-2xx2−x+1)=23+23•1x+1x−1<23+23=43,
故c的取值范圍為(-∞,43],
故答案為:(-∞,43]
點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,以及函數(shù)的單調(diào)性和恒成立的問題,考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于難題.
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | (1,2) | B. | (2,2) | C. | (3,1) | D. | (4,0) |
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