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2.已知數(shù)列{an}是首項為1,公比為12的等比數(shù)列,令Sn=a1+a2+…+an,Tn=a1(a1+a2+…+an)+a2(a2+a3+…+an)+…+an-1(an-1+an)+an2.若對一切正整數(shù)n,都有Tn>c•Sn2,則c的取值范圍是(-∞,43].

分析 先根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式求出an,Sn,再得Tn=Sn2-(a2S1+a3S2+…+anSn-1),構(gòu)造數(shù)列bn-1=a2S1+a3S2+…+anSn-1,求出和,得到Tn,設(shè)12n=x,0<x<1,由Tn>c•Sn2,得到c<23+231x+1x1,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

解答 解:∵數(shù)列{an}是首項為1,公比為12的等比數(shù)列,
∴an=12n1,Sn=1×112n112=2-12n1,
∵Tn=a1(a1+a2+…+an)+a2(a2+a3+…+an)+…+an-1(an-1+an)+an2=a1Sn+a2(Sn-S1)+…+an(Sn-Sn-1),
=Sn(a1+a2+…+an)-(a2S1+a3S2+…+anSn-1)=Sn2-(a2S1+a3S2+…+anSn-1
設(shè)bn-1=a2S1+a3S2+…+anSn-1,
∵anSn-1=12n1(2-12n2)=12n2-122n3,n≥2,
∴bn-1=2-12n2-23(1-14n1)=2-12n2-23+23×4n1=43-12n2+23×4n1,
∴Tn=(2-12n12+43-12n2+23×4n1
設(shè)12n=x,0<x<1,
∵Tn>c•Sn2
∴c<1-13(1-2xx2x+1)=23+231x+1x123+23=43,
故c的取值范圍為(-∞,43],
故答案為:(-∞,43]

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,以及函數(shù)的單調(diào)性和恒成立的問題,考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于難題.

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