Question

6．在體積為$\sqrt{3}$的三棱錐S-ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC，若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（　�。�

• A． $\frac{20\sqrt{5}}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• C． 20π
• D． 8π

Answer 1

分析 求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出S到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過(guò)勾股定理求出球的半徑，即可求解球的體積．

解答 解：三棱錐S-ABC，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，且AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴由余弦定理可得AC=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圓半徑2r=$\frac{2\sqrt{3}}{sin120°}$=4，即r=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin120°=$\sqrt{3}$，
∵三棱錐S-ABC的體積為$\sqrt{3}$，
∴S到底面ABC的距離h=3，
設(shè)O到平面ABC的距離為d
如圖所示，由平面SAC⊥平面ABC，可得SD=3，
利用勾股定理可得R²=（3-d）²+（2-1）²，2²+d²=R²，
∴d=1，R=$\sqrt{5}$
球的體積：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{20\sqrt{5}}{3}$π．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．