Question

15．某分公司經銷某種產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交納6元的管理費，預計當每件產品的售價為x元（9≤x≤11）時，一年的銷售量為x²萬件．
（Ⅰ）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；
（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意先求出每件產品的利潤，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤L與每件產品的售價x的函數關系式，但應當注意變量的范圍；
（Ⅱ）運用導數求得函數的單調性，借以判斷最值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，L=x²（x-9）=x³-9x²，9≤x≤11．
（Ⅱ）L′=3x²-18x=3x（x-6），
令L′=0，∴x=0或x=6，
∴L′＞0在[9，11]上恒成立，即L在[9，11]上單調遞增，
∴當x=11時，L取得最大值，
∴當每件產品的售價為11元時，分公司一年的利潤L最大．

點評 本題主要考查了函數的導數的求法，以及利用導數求出函數的單調性，并用以求得函數的最值，屬于中檔題．