Question

6．如圖，矩形ABCD所在平面與平面PAD垂直，PA⊥AD，且AD=2AB，E為BC上的動點．
（1）當(dāng)E為BC的中點時，求證：PE⊥DE；
（2）若PA=AB，在線段BC上是否存在點E，使得二面角P-ED-A的大小為$\frac{π}{4}$，若存在，確定點E的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明當(dāng)E為BC的中點時，PE⊥DE．
（2）求出平面AED的一個法向量和平面PDE的一個法向量，由二面角P-ED-A的大小為$\frac{π}{4}$，利用向量法能求出在線段BC上存在點E，使得二面角P-ED-A的大小為$\frac{π}{4}$，點E在線段BC上距B點2-$\sqrt{3}$處．

解答 證明：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AP=t，則P（0，0，t），E（1，1，0），D（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PE}$=（1，1，-t），$\overrightarrow{DE}$=（1，-1，0），
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{DE}$=1-1+0=0，
∴當(dāng)E為BC的中點時，PE⊥DE．
解：（2）設(shè)BE=x，則P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PE}$=（1，x，-1），$\overrightarrow{DE}$=（1，x-2，0），
平面AED的一個法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
設(shè)平面PDE的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=a+xb-c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=a+（x-2）b=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{n}$=（2-x，1，2），
∵二面角P-ED-A的大小為$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{π}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{2}{\sqrt{（x-2）^{2}+5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得x=2-$\sqrt{3}$或x=2+$\sqrt{3}$（舍），
∴x=2-$\sqrt{3}$，
∴在線段BC上存在點E，使得二面角P-ED-A的大小為$\frac{π}{4}$，點E在線段BC上距B點2-$\sqrt{3}$處．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足二面角的大小為$\frac{π}{4}$的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．