Question

1．任取$k∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$，直線y=k（x+2）與圓x²+y²=4相交于A，B兩點，則$\left|{\left.{AB}\right|}\right.≥2\sqrt{3}$的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由圓的方程找出圓心坐標和半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線y=k（x+2）的距離d，由r及d，根據(jù)垂徑定理及勾股定理表示出弦AB的長，令AB的長大于等于2$\sqrt{3}$，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，根據(jù)已知k的范圍，利用幾何概型即可求出|AB|≥2$\sqrt{3}$的概率．

解答 解：由圓x²+y²=4，得到圓心為（0，0），半徑等于2，
圓心到直線y=k（x+2）的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
由弦長公式得：|AB|=2$\sqrt{4-\frac{{4k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$≥2$\sqrt{3}$，
解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又-$\sqrt{3}$≤k≤$\sqrt{3}$，
則|AB|≥2$\sqrt{3}$的概率為$\frac{1}{3}$．
故選：C．

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，其他不等式的解法，以及幾何概型，當直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點，然后由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．