Question

19．下列函數(shù)中，最小值為2的是（　�。�

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． $y=lgx+\frac{1}{lgx}（1＜x＜10）$
• C． $y=sinx+\frac{2}{sinx}（0＜x＜\frac{π}{2}）$
• D． y=3^x+3^-x

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)依次判斷即可得出答案．

解答 解：對于A：$y=x+\frac{1}{x}$，當x＞0時，$y=x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當且僅當x=1時取等號．當x＜0時，$y=-（x+\frac{1}{x}）$，
∵$x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，∴y≤-2，當且僅當x=-1時取等號．故A不對．
對于B：$y=lgx+\frac{1}{lgx}$$≥2\sqrt{lgx•\frac{1}{lgx}}=2$，當且僅當lgx=1時取等號，此時x=10．而1＜x＜10，故B不對．
對于C：$y=\frac{2}{sinx}+sinx≥2\sqrt{\frac{2}{sinx}•sinx}$$≥2\sqrt{2}$，當且僅當sinx=1時取等號，此時x=$\frac{π}{2}$．而0＜x＜$\frac{π}{2}$，故C不對．
對于D：$y={3}^{x}+{3}^{-x}={3}^{x}+\frac{1}{{3}^{x}}≥2\sqrt{{3}^{x}•\frac{1}{{3}^{x}}}=2$，當且僅當3^x=1時取等號，此時x=0，故D正確．
故選：D．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)的判斷及運用．屬于基礎題．