Question

函數(shù)f（x）=x³-3ax²+a（a＞0）的極大值為正數(shù)，極小值為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值，再解不等式，求交集即可．

解答： 解∵f′（x）=3x²-6ax（a＞0），
∴由f′（x）＞0得：x＞2a或x＜0，由f′（x）＜0得：0＜x＜2a．
∴當(dāng)x=2a時(shí)，f（x）有極小值，x=0時(shí)，f（x）有極大值．
由極大值為正數(shù)，極小值為負(fù)數(shù)，即
（2a）³-3a（2a）²+a＜0，且a＞0，
解得a＞

1

2

．
故答案為：（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．解決函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)是唯一方法．極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)數(shù)符號(hào)必須相反．